Teorema Banash-Tarki

Antonio Daza D 31 12 2025

La Paradoja de Banach-Tarski es uno de los resultados más sorprendentes en Matemáticas. En términos sencillos, afirma que se puede romper una bola maciza en trozos, girar o ´ trasladar cada uno de los trozos y, con las nuevas piezas, formar dos bolas idénticas a la ´ primera.

La paradoja también tiene una versión fuerte, la cual afirma que una esfera del ta- ´ mano de un guisante puede romperse en trozos y, aplicando isometrías a cada uno de ellos, obtener otra esfera del tamaño del sol. ˜

Teorema 1.1. (Teorema de Banach-Tarski) Sea B una bola en R 3 .

Existe una partición de ´ B en conjuntos A1, . . . , An, B1, . . . , Bm ⊂ B, e isometr´ıas σ1, . . . , σn, τ1, . . . , τn de R 3 de modo que [n i=1 σi(Ai) = B = [m j=1 τj (Bj )

Teorema 1.2.

(Teorema de Banach-Tarski, version fuerte ´ ) Sean A, B dos bolas en R 3 .

Existe una partición de ´ A en conjuntos A1, . . . , An, e isometrías σ1, . . . , σn de R 3 tales que B = [n i=1 σi(Ai)

Estos resultados son contrarios a nuestra intuición: físicamente, van en contra del Principio de conservación de la masa.

El que un conjunto pueda ser congruente a un sub conjunto propio suyo puede parece inusual.

Lo que subyace detrás de la paradoja es el uso de conjuntos infinitos. Nuestra intuición´ se basa en el mundo finito, y por lo tanto el concepto del infinito ha producido, desde hace milenios, paradojas y resultados en contra de nuestro sentido común, siendo un tema deli cado.

Los primeros en estudiar la idea de infinito fueron los griegos con, por ejemplo, las paradojas de Zenón.

Ante este tipo de resultados, los griegos optan por aceptar la existencia ´ del infinito, pero lo evitan en la medida de lo posible.

Mucho más tarde, en 1638, Galileo ´ planta el germen de lo que será el estudio del infinito: el emparejamiento de elementos ´ de dos conjuntos para estudiar cual de ellos es "m ´ as grande".

En torno a 1870, siguiendo ´ esta idea, Cantor empareja el conjunto de naturales con el de enteros, y mas tarde con el ´ de racionales.

Además, se da cuenta de que estos conjuntos no podían emparejarse con los puntos de un segmento, o con los de........

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