Esta é uma história sobre os mistérios da matemática, sobre como coisas que parecem não ter nada que ver entre si revelam-se intimamente relacionadas. Ela começa com os números primos ímpares: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …. Eles podem ser separados em dois tipos: o tipo 4k 1, formado por aqueles (como 5, 13, 17, …) cuja divisão por 4 dá resto 1; e o tipo 4k 3, constituído por aqueles (7, 11, 19, 23, …) cuja divisão por 4 dá resto 3.

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À primeira vista não há nada notável que distinga um tipo do outro. Mas em seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Investigações Aritméticas), publicado em 1801, Gauss apontou um fato matemático muito interessante, que vou tentar explicar.

Considere dois primos ímpares, p e q, quaisquer. Dizemos que p é um quadrado perfeito módulo q se existir algum inteiro n tal que n x n - p é múltiplo de q. Por exemplo, 5 é um quadrado perfeito módulo 19:........

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