Teoremas de Sylow |
En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son un conjunto de teoremas que llevan el nombre del matemático noruego
Peter Ludwig Sylow y que proporcionan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado .
Los teoremas de Sylow constituyen una parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos simples finitos .
Para un número primo pag, un p -grupo es un grupo cuya cardinalidad es una potencia depag;o equivalentemente, el orden de cada elemento del grupo es alguna potencia depag. Un p -subgrupo de Sylow (a veces p -subgrupo de Sylow ) de un grupo finitoGRAMOes un máximo pagsubgrupo deGRAMO, es decir, un subgrupo deGRAMOque es un p -grupo y no es un subgrupo propio de ningún otropag-subgrupo deGRAMO.
El conjunto de todos Sylowpag-subgrupos para un primo dadopaga veces está escritoSylpag(GRAMO).
Los teoremas de Sylow afirman un recíproco parcial del teorema de Lagrange .
El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finitoGRAMO el orden (número de elementos) de cada subgrupo se GRAMOdivide el orden
GRAMOLos teoremas de Sylow establecen que para cada factor primo pagdel orden de un grupo finitoGRAMO existe un Sylowpag-subgrupo deGRAMOdel ordenpagnorte, el poder más alto depag que divide el orden deGRAMO.
Además, cada subgrupo de ordenpagnortees un Sylowpag-subgrupo deGRAMOy el Sylowpag-subgrupos de un grupo (para un primo dado)pag) son conjugados entre sí. Además, el número de Sylowpag-subgrupos de un grupo para un número primo dadopag es congruente con 1 modpag=?¡).
Los teoremas de Sylow son una afirmación poderosa sobre la estructura de los grupos en general, pero también son poderosos en aplicaciones de la teoría de grupos finitos.
Esto se debe a que proporcionan un método para utilizar la descomposición prima de la cardinalidad de un grupo finito.GRAMO para dar enunciados sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, proporciona una técnica para transportar información básica de teoría de números sobre un grupo a su estructura de grupo.
A partir de esta observación, clasificar grupos finitos se convierte en un juego de encontrar qué combinaciones/construcciones de grupos de orden menor se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas es la clasificación de grupos finitos de cierta cardinalidad fija, p. ej.|GRAMO|=60 . [
Las colecciones de subgrupos que son maximales en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El sorprendente resultado aquí es que en el caso deSylpag(GRAMO) , todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el mayor orden posible: si|GRAMO|=pagnortemetro connorte>0 donde p no divide a m , entonces todo subgrupo de Sylow p P tiene orden|PAG|=pagnorte .
Es decir, P es un p -grupo ymcd(|GRAMO:PAG|,pag)=1 Estas propiedades pueden ser explotadas para analizar más a fondo la estructura de G.
Los siguientes teoremas fueron propuestos y demostrados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872 .
Teorema (1) Para cada factor primo p con multiplicidad n del orden de un grupo finito G , existe un subgrupo de Sylow p de G , de ordenpagnorte .
La siguiente versión más débil del teorema 1 fue demostrada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy .
Dado un grupo finito G y un número primo p que divide el orden de G , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo cíclico generado por este elemento) de orden p en G
Dado un grupo finito G y un número primo p , todos los subgrupos de Sylow p........