Teorema de Tales |
Tomado de wikipedia
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Los dos teoremas de Tales
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente («los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa»).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circun centros de todos los triángulos rectángulos («encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa»), a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son proporcionales.
Primer teorema
Una aplicación del teorema de Tales
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí.
El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Aplicación
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados.
Eso significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva.
Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto.
En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
i las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Segundo teorema
Fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de........